Barisan Fibonacci : Keajaiban Matematika

Leonardo  Fibonacci

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

F_n = (x₁ⁿ – x₂ⁿ)/ sqrt(5)

dengan

• F_n adalah bilangan Fibonacci ke-n
• x₁ dan x₂ adalah penyelesaian persamaan x²-x-1=0

Perbandingan antara F_n+1 dengan F_n hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.

Jika kita membagi satu angka dalam deret tersebut dengan angka sebelumnya, akan kita dapatkan sebuah angka hasil pembagian yang besarnya sangat mendekati satu sama lain. Nyatanya, angka ini bernilai tetap setelah angka ke-13 dalam deret tersebut. Sebab itulah angka ini dikenal sebagai "golden ratio" atau "rasio emas".

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Sejarah Bilangan Fibonocci

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200) dan mengenalkannya ke Eropa pada tahun 1202 lewat bukunya, “Liber Abaci“ ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

Fibonacci merumuskan barisan bilangan ini ketika dia mengikuti sebuah turnamen matematika di tahun itu. Permasalahan yang mengilhaminya adalah masalah teka-teki kelinci berikut ini.

“Seseorang menaruh sepasang kelinci yang semua sisinya dibatasi dinding. Berapa banyak pasang kelinci dapat dihasilkan dari pasangan tersebut dalam setahun jika diandaikan setiap bulan tiap pasangan beranak satu pasangan baru yang mulai produktif pada bulan ke dua dan seterusnya.”

Kelinci-kelinci Fibonacci

Pertama-tama kita bayangkan ada sepasang kelinci. Di bulan pertama kelinci itu matang, dan dapat melahirkan sepasang anaknya setelah minggu kedua setiap bulannya . Kita umpamakan kelinci-kelinci itu tidak pernah mati, dan kelinci betina selalu dapat melahirkan sepasang kelinci baru (satu kelinci jantan dan satu kelinci betina) di bulan kedua setelah dia dilahirkan induknya.

• Di akhir bulan pertamanya, sepasang kelinci (pertama) telah matang, tetapi belum dapat menghasilkan kelinci baru (masih ada 1 pasang kelinci).
• Di akhir bulan kedua, dari kelinci betina lahir sepasang kelinci (1 kelinci jantan dan 1 kelinci betina). Jadi ada 2 pasang kelinci sekarang.
• Di akhir bulan ketiga, kelinci betina awal melahirkan lagi sepasang kelinci. Jadi ada 3 pasang kelinci sekarang.
• Di akhir bulan keempat, kelinci betina awal melahirkan lagi sepasang kelinci, dan kelinci betina yang lahir di bulan kedua juga melahirkan sepasang kelinci pertamanya. Jadi, sekarang ada 5 pasang kelinci di kandang itu.
• Begitu seterusnya.

Berikut adalah pasangan-pasangan kelinci baru yang dihasilkan setelah beberapa bulan.

 Dari ilustrasi gambar di atas, terlihat pola banyaknya pasangan kelinci itu sejak awal bulan pertama adalah: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Fibonacci pada Cangkang Keong
Rasio Fibonacci banyak terdapat pada benda-benda di alam ini dan beberapa karya manusia. Contohnya pola pada cangkang keong seperti pada gambar di bawah ini.

 Fibonacci pada Kelopak Bunga

Mungkin sebagian besar dari kita tidak pernah meluangkan waktu untuk memeriksa dengan hati-hati jumlah atau susunan kelopak bunga. Jika kita melakukannya, kita akan menemukan bahwa jumlah kelopak pada bunga, (tentu saja yang masih memiliki semua kelopak yang utuh) pada banyak bunga adalah bilangan Fibonacci

• 3 kelopak: lily, iris
• 5 kelopak: buttercup, wild rose, larkspur, columbine (aquilegia)
• 8 kelopak: delphiniums
• 13 kelopak: ragwort, corn marigold, cineraria,
• 21 kelopak: aster, black-eyed susan, chicory
• 34 kelopak: plantain, pyrethrum
• 55, 89 kelopak: michaelmas daisies, the asteraceae family

Beberapa spesies memiliki jumlah kelopak yang tepat tetapi yang lain memiliki kelopak bunga sangat dekat secara rata-rata dengan bilangan fibonacci

Bunga lily dengan 1 kelopak

Bunga Euphorbia dengan 2 kelopak

Bunga Trillium dengan 3 kelopak

Bunga dengan 5 kelopak

Bunga Bloodroot dengan 8 kelopak

Bunga Black-eyed Susan dengan 13 kelopak

Bunga Shasta Daisy dengan 21 kelopak

Bunga Aster dengan 34 kelopak

Fibonacci Pola Bunga Matahari

Pola bunga juga menunjukkan adanya pola Fibonacci ini, misalnya pada bunga matahari. Dari titik tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar, polanya mengikuti pola Fibonacci.

 Fibonacci pada Tubuh Manusia

• Tangan

• Cobalah ukur panjang jarimu, kemudian bandingkan dengan panjang lekuk jari, maka akan ketemu 1.618.

• Coba bagi tinggi badanmu dengan jarak pusar ke telapak kaki, maka hasilnya adalah 1.618.
• Bandingkan panjang dari pundak ke ujung jari dengan panjang siku ke ujung jari, maka hasilnya adalah 1.618.
• Bandingkan panjang dari pinggang ke kaki dengan panjang lutut ke kaki, maka hasilnya adalah 1.618

Semua perbandingan ukuran tubuh manusia adalah 1.618. Benarkah? silahkan membuktikannya.

Masih banyak lagi fakta lain di alam ini yang mengacu pada barisan Fibonacci ataupun Golden Ratio. Hal tersebut adalah keajaiban yang tentunya atas Kuasa Nya dapat terjadi. Bahwa ini bukan kebetulan belaka, tapi kenyataan yang harus kita telaah agar kita semakin banyak bersyukur. Bahwa alam yang indah ini penuh keajaiban yang merupakan mahakarya Alloh SWT.

 
Sumber : www.mathstation.net
              www.ahmadkurniadi.blogspot.com
              www.wikipedia.org
              www.blog.kuthaardana.com
              www.versesofuniverse.blogspot.com

Posted in: Artikel,Unik